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TEORÍA
Y EJEMPLOS
OPERACIONES BÁSICAS CON
NÚMEROS NATURALES
Adición
Términos como juntar,
agregar, buscar totales, son claves para aplicar esta
importante operación matemática. En ella distinguimos: los sumandos, que son
numerales separados por el signo
más (+), y
la suma,
que es el resultado de la operación
Sustracción
¡Cuántas veces decimos: me queda, me falta, la diferencia…! Ahí nos
referimos a la sustracción, una operación que tiene como elementos:
La sustracción
no es cerrada, porque no siempre tiene solución en los números cardinales:
3 – 12 =?
Sólo se puede
resolver cuando el minuendo es mayor o igual que el sustraendo.
Tenemos la
siguiente sustracción: 12 – 3 = 9. Pero, ¿por qué es 9? Porque 9 + 3 = 12.
Entonces, la sustracción es la operación
inversa a la adición. Por eso, para comprobar si la
diferencia está correcta, sumamos la resta, más el sustraendo y debemos
obtener el minuendo.
Veamos el siguiente ejemplo:
425 – 55 = 370
Si esta
sustracción es correcta, debe darse lo siguiente:
370 + 55 = 425
Como la suma es
correcta, entonces el resultado de la sustracción también es correcto. Cuando aplicas
la sustracción en forma vertical, debes hacer coincidir las columnas de
posición del minuendo y el sustraendo. Recuerda que en cada columna las
cifras tienen diferente valor:
Multiplicación
Para multiplicar un número de varias
cifras por otro de una cifra, se multiplica las unidades del multiplicando
por el multiplicador; si de este producto resultaren decenas, se escriben las
unidades y se retienen mentalmente para sumarlas a la columna de las decenas.
Después se multiplican las decenas del multiplicando por el multiplicador y a
este producto se le suman las procedentes del paso anterior, si las hubiere.
Si de estas operaciones resultaren centenas, se retienen mentalmente para
sumarlas al producto con las centenas y así se continua hasta terminar todas
las unidades de los diversos órdenes del multiplicando. 
División:
La división es la operación inversa de la
multiplicación. Cuando se nos da el resultado de multiplicar dos números
(factores) entre sí como también uno de los factores, el objeto de la
división es hallar el segundo factor.
Ejemplo ilustrativo:
Si
se tiene que el producto de dos números es 72 y uno de los números es 8, ¿por
cuánto se multiplicó el 8 para que el resultado fuera 72? La respuesta
se encuentra, dividiendo 72 entre 8, y el resultado es 9.
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Partes
de la división
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Dividendo: es el número que se va dividir.
Divisor: es el número que divide a otro.
Cociente: resultado de una división.
Residuo: es el número que sobra cuando se
divide un número entre otro.
En la definición anterior dada sobre la división, se
tiene que: el producto dado es el dividendo, el factor dado es el divisor,
y el factor encontrado es el cociente.
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Se
dice que una división es exacta cuando el residuo es cero y que es inexacta
cuando el residuo es diferente de 0.
Es
bueno hacer notar que el residuo siempre tiene que ser menor que el divisor.
Es
indispensable conocer las tablas de multiplicar; pues para aprender a dividir
es indispensable saber multiplicar (si no sabes las tablas ve a estudiarlas
hasta que te las sepas de memoria)
P r o c e
d i m i e n t o
Para efectuar la división entre dos números y hallar el cociente y el
residuo, se procede de la siguiente forma:
1. Se separan en el dividendo, mediante una coma en la parte
superior (apóstrofo), tantas cifras de la izquierda como las que tiene el
divisor o una cifra más (el número formado por las cifras separadas debe ser
mayor que el divisor)
2. Si el número formado en la separación tiene tantas cifras
como el divisor, se observa cuántas veces está la primera cifra del divisor
en la primera cifra del número formado
3. Si el número formado en la separación tiene una cifra más
que el divisor, se observa cuántas veces está la primera cifra del divisor en
el número formado por las dos primeras cifras del número formado en la
separación
4. El número hallado en el paso 2 o en
el 3 se escribe en el cociente (dicho número debe ser una cifra
entre 1 y 9)
5. Se multiplica el número escrito en el cociente por el
divisor y el resultado se resta del número separado en el dividendo. Si la
resta se puede efectuar, esto es, si el producto es menor que el número
formado en la separación, entonces el número escrito en el cociente es
correcto y se deja allí; en cambio, si el producto es mayor que el número
formado en la separación, la resta no se puede efectuar y el número escrito en el cociente no es correcto; y se
debe ir disminuyendo de uno en uno hasta que el producto del número por el
divisor sea menor que el número formado en la separación.
6. Se baja la siguiente cifra del dividendo, escribiéndose a
la derecha de la diferencia hallada en el paso anterior
7. Si el número formado en el paso anterior es mayor o igual
que el divisor, se procede como en los pasos 2 a 5. Si el
número formado es menor, se escribe cero en el cociente y se procede a bajar
la próxima cifra del dividendo ... si el que se forma es mayor o igual que el
divisor ...
8. El proceso termina cuando se haya bajado la última cifra
del dividendo
9. El último resto es el residuo de la división
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS
Geometría: Es una rama de las matemáticas que se ocupa
de las propiedades del espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos,
poliedros, curvas, superficies, volúmenes, capacidades, etc.
Punto: Figura geométrica más simple, se usa para indicar
una posición en el espacio. No es un objeto físico, por lo tanto carece de
forma y dimensiones. Se nombra con letras mayúsculas.
Línea: Extensión considerada solo en su longitud. Es una
sucesión infinita de puntos. Las
líneas se clasifican básicamente en recta, poligonal y curva.
Línea poligonal: Línea formada por segmentos rectos
consecutivos no alineados. Se clasifican en poligonal abierta si el primer y
último segmentos no están unidos; y poligonal cerrada si el primer y últimos
segmentos están unidos.
Línea curva: Línea del plano o del espacio que no tiene
segmentos rectos. La curva puede ser abierta o cerrada.
Línea recta: Línea de dirección constante. Una recta
puede ser definida por dos puntos a los que une recorriendo su menor
distancia.
Recta: La recta, o línea recta, en geometría, es el ente
ideal que sólo posee una dimensión, y contiene infinitos puntos; está compuesta
de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos);
también se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una
sola dimensión. Se nombra con la letra que representa el punto inicial y el
punto final y el símbolo ↔ encima de las letras que determinan la recta.
Las rectas pueden ser horizontales, verticales, oblicuas
Semi-recta: Cada una de las dos partes en que divide a
una recta uno cualquiera de sus puntos, tiene un origen y se extiende
indefinidamente en un solo sentido a partir de un punto. Si señalamos un
punto O en una recta RS, dicho punto junto con los puntos que le siguen o le
preceden en el mismo sentido se denomina semirrecta; O se conoce como el
origen de la semirrecta. Para denotar una semirrecta se señala otro punto
además del origen, y se utiliza el siguiente símbolo →
Segmento de recta: Es una parte de la recta que tiene dos
extremos definidos y se simboliza con – la barra encima de las letras que lo
determinan. Si señalamos sobre una recta los puntos A y B, se denomina
segmento el conjunto de puntos comprendidos entre A y B, incluyendo a los
puntos A y B, que se denominan extremos del segmento.
Ángulo: Se denomina ángulo a la abertura entre dos
líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice
Plano: En geometría, es el ente ideal que sólo posee dos
dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes
geométricos fundamentales junto con el punto y la recta. En un plano podemos
encontrar figuras geométricas como: triángulos, cuadrados, rombos, entre
muchas otras.
Semiplano: Es cada una de las partes en que un plano
queda dividido por cualquiera de sus rectas. A la recta que da lugar a que se
formen los dos semiplanos, la llamamos frontera y no es parte de ninguno de
los dos semiplanos.
Estadística
La Estadística es la parte de las Matemáticas que se
encarga del estudio de una determinada característica en una población,
recogiendo los datos, organizándolos en tablas, representándolos gráficamente
y analizándolos para sacar conclusiones de dicha población.
Según se haga el estudio sobre
todos los elementos de la población o sobre un grupo de ella, vamos a
diferenciar dos tipos de Estadística:
Estadística
descriptiva. Realiza el estudio sobre la
población completa, observando una característica de la misma y calculando
unos parámetros que den información global de toda la población.
Estadística inferencial. Realiza el estudio descriptivo sobre un subconjunto de la población
llamado muestra y, posteriormente, extiende los resultados obtenidos a toda
la población.
Veamos dos ejemplos que nos
aclaren estos dos tipos de Estadística:
Ejemplo 1. Cuando van a llegar cualquier tipo de elecciones, por ejemplo, las
elecciones generales, es muy frecuente que los medios de comunicación, nos
adelanten los resultados de encuestas o sondeos en los que se nos indica el
resultado final de dichas elecciones con una precisión y con un error
determinado. Estos sondeos son realizados por distintas técnicas sobre un
grupo (muestra) más o menos numeroso de personas. Naturalmente, cuanto mayor
sea el número de personas con derecho a voto encuestados, mayor será la
fiabilidad de la encuesta, pero también mayor será el coste del sondeo. El
estudio de esta muestra se haría mediante estadística descriptiva, pero lo
que nos interesa no es el resultado de este estudio reducido sino el
resultado final de las elecciones. El paso de generalizar los resultados de
la muestra a toda la población, se hace mediante técnicas de Estadística
inferencial. La elección de la muestra debe hacerse mediante métodos de
muestreo para que el estudio resulte lo más fiable posible.
Ejemplo 2. Supongamos que estamos en un instituto con un número muy elevado de
alumnos y alumnas, por ejemplo 500, y queremos hacer un estudio estadístico
sobre su altura.
Un método sería pasar clase por
clase y medirlos a todos, esto nos podría llevar un tiempo considerable pero
sería la forma más exacta de hacer dicho estudio, aunque es fácil
encontrarnos con ausencias y tendríamos que volver varios días y pasar lista
para conseguir la estatura de todo el alumnado. Una vez que tengamos todos
los datos en nuestro poder los resultados los obtendríamos mediante
Estadística descriptiva.
Otra posibilidad podría ser pasar
clase por clase, decirles a los alumnos y alumnas que anoten su estatura en
un papel y recogerlos todos. También así tendríamos un estudio de Estadística
descriptiva, aunque seguramente menos fiable que con el método anterior, pues
casi con toda seguridad, y lo digo por experiencia, algunos alumnos escriban
su estatura a cálculo y otros, con ganas de bromas, muy por encima o muy por
debajo de la realidad.
Y otra posibilidad sería escoger
una muestra, es decir un grupo de por ejemplo 50 personas, hacer el estudio
descriptivo sobre ellas y después generalizarlo a todo el instituto con
Estadística inferencial. En este caso, comprobaríamos por una parte que cuanto
mayor sea la muestra más trabajo tendremos, pero más fiable será el resultado
final y por otra, que la elección de la muestra debe hacerse de manera que
permita también fiarnos del resultado obtenido. Si estamos en sexto,
¿podríamos coger como muestra los 50 alumnos de este curso? ¿Por qué? ¿Qué
forma de elegir la muestra se te ocurre?
En cualquiera de los dos
ejemplos, ¿cuáles serían los resultados más fiables?
Actividad evaluativa
I) Resuelva las siguientes
sumas de números naturales:
1) 296 + 5.342 + 756 + 9 2) 192 + 55.564 + 56 3) 115 + 798 + 41
+ 6
4) 9.767 + 8.953 + 9.543 5) 751 + 654 + 32.788 6) 489.620 + 2.398.701
+ 9
7) 8.954 + 752 + 20 + 3 + 895 8) 2.301 + 9.610 + 8.530 + 5.478
9) 63.147 + 62 + 31 + 4
10) 98.563 + 4.872 + 36 + 687
II)
Reste los siguientes números naturales:
1) 89.654.632 – 854.126 2) 1.336.945.122 – 3.655.244.552 3) 566.232.144 – 32.552
4) 54.855.888 – 3.555.425 5) 63.255.211 – 1.485.214 6)
145.585.217 – 99.985
7) 157.824.147 – 3.216.548 8) 254.721 – 95.989 9)
2.575.844 – 545.695
10) 565.421 – 2.545
III)
Resuelva las siguientes multiplicaciones de números naturales:
1) 12 x 2 2) 66 x 9 3)
54 x 8 4)
76 x 3 5) 61 x 7
6) 15 x 75 7) 800 x 964 8) 654 x 379 9) 387 x 330 10) 369 x 156
IV) Divide
las siguientes cifras:
1) 824 ÷ 14 2) 14 ÷ 10 3) 5.600 ÷ 100 4) 7.245 ÷ 26 5) 456 ÷ 10
6) 4.000 ÷ 1.000 7) 12.345 ÷ 987 8) 1.234 ÷ 14 9) 875.993 ÷ 4.356 10) 567 ÷ 11
ACTIVIDAD DE GEOMETRÍA
1 Escriba
verdadero o falso en cada afirmación según corresponda:
A Un punto tiene dimensiones infinitas _________
B Al marcar un punto en una recta, esta queda
dividida en dos semirrectas __________
C El plano tiene dos dimensiones: Largo y ancho
___________
D Para nombrar un punto utilizamos una letra
mayúscula _________
E Si se marcan tres puntos en una recta, se determina
un segmento ____________
2 Marque un punto y trace varias rectas que pasen por
él. ¿Qué concluye?
3 Marque dos puntos y trace las rectas que puedan
pasar por ambos puntos al mismo tiempo. ¿Qué concluye?
4 Observe la gráfica y nombre 5 segmentos
5 Observe la gráfica y responda cada literal
A Nombre tres puntos
B Nombre tres rectas
C Nombre un plano
6 Relacione cada término con el concepto que lo
define, escribiendo dentro del paréntesis la letra que corresponda:
A Plano
B Curva abierta
C Segmento de recta
D Punto
E Línea
F Semiplano
G Recta
H Línea curva
I Semirrecta
J Línea poligonal
K Curva cerrada
L Geometría
( ) Rama de las matemáticas
que se ocupa de las propiedades del espacio, como son: puntos, rectas,
planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, volúmenes, capacidades,
etc.
( ) Es la figura geométrica
más simple, representa una posición fija del espacio. No es un objeto físico,
por lo tanto carece de forma y dimensiones. Se nombra con letras mayúsculas.
( ) Es una sucesión
infinita de puntos.
( ) Línea formada por
segmentos rectos consecutivos no alineados.
( ) Una curva con las
puntas abiertas (en otras palabras las puntas no se juntan).
( ) Una curva que se junta
de tal manera que no tiene puntas sueltas o finales.
( ) Es una parte de la
recta que tiene dos extremos definidos y se simboliza – con la barra encima
de las letras que lo determinan.
( ) Es cada una las partes
en que un plano queda dividido por cualquiera de sus rectas. A la recta que
da lugar a que se formen los dos semiplanos, la llamamos frontera y no es
parte de ninguno de los dos semiplanos.
( ) Línea del plano o del
espacio que no tiene segmentos rectos. La curva puede ser abierta o cerrada.
( ) Es una superficie
infinita que está formada por puntos y rectas, y donde podemos encontrar
figuras geométricas como: triángulos, rombos, cuadrados, entre muchas otras.
( ) Cada una de las dos
partes en que divide a una recta uno cualquiera de sus puntos, tiene un
origen y se extiende indefinidamente en un solo sentido a partir de un punto.
Y se simboliza → encima de las letras mayúsculas con las que se determinan la
semirrecta.
( ) Línea de dirección
constante. Una recta puede ser definida por dos puntos a los que une
recorriendo su menor distancia. Se nombra con la letra que representa el
punto inicial y el punto final y el símbolo ↔ encima de las letras que
determinan la recta.
Actividad de Estadística
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